Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

Étape 3.11

Associez $\frac{- 2}{4}$ et $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

Étape 3.12

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

Étape 3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Étape 3.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

Étape 3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

Étape 3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$