Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y = - 44$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 44)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$6 x + 24 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x + 24 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$6 x + 24 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x + 24 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 x + 24 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 x + 24 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 y'$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24$

Étape 3

Comme $- 44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 44$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + 2 y' + 24 = - 6 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + 2 y' = - 6 x - 24$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y y' + 2 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' = - 6 x - 24$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y'$ .

$2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1 = - 6 x - 24$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ par $2 (- y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ par $2 (- y + 1)$ .

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- y + 1$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 12}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} - \frac{12}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x - 12}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x - 12$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$y' = \frac{3 (- x) - 12}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$y' = \frac{3 (- x) + 3 (- 4)}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (- 4)$ .

$y' = \frac{3 (- x - 4)}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 4)}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x) - 1 (4))}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{3 (- (x + 4))}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.6

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- y + 1}$

Étape 5.3.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) + 1}$

Étape 5.3.3.2.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) - 1 (- 1)}$

Étape 5.3.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y - 1)}$

Étape 5.3.3.2.10

Réécrivez $- (y - 1)$ comme $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Étape 5.3.3.2.11

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Étape 5.3.3.2.12

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$