Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - 4 a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $a^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $a$ .

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $a$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $a$ en insérant $2$ pour $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $a$ en insérant $2$ pour $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $a^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $a$ en insérant $2$ pour $a$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4} = lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} - 4 a + 4$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d a} [- 4 a]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 4 a$ par rapport à $a$ est $- 4 \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $4$ par rapport à $a$ est $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + 0}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 a - 4$ et $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{2} - 4$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $a$ est $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $2 a$ et $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $2 a - 4$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) - 4}{2 a}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) + 2 \cdot - 2}{2 a}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (a) + 2 (- 2)$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Étape 1.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 (a)}$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Étape 1.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{a \to 2} \frac{a - 2}{a}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - 2}{lim_{a \to 2} a}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - lim_{a \to 2} 2}{lim_{a \to 2} a}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $a$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{a \to 2} a - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $a$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $a$ en insérant $2$ pour $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $a$ en insérant $2$ pour $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $2 - 1 \cdot 2$ et $2$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 (- 2) - 1 (2)}{2}$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{2}$

Étape 4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 2 + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2}$

Étape 4.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 (1)}$

Étape 4.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 1 + 1)}{1}$

Étape 4.1.5.4

Divisez $- 1 (- 1 + 1)$ par $1$ .

$- 1 (- 1 + 1)$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 (- 1 + 1)$ comme $- (- 1 + 1)$ .

$- (- 1 + 1)$

Étape 4.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- 0$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$