Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Étape 5

Laissez $u = 6 x + 3$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 6 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Étape 6

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Étape 9

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Étape 10

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 12.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Étape 12.2.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 12.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Étape 12.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 12.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 12.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Étape 12.2.3.2.4

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$