Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (1 + 5 e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

Étape 3.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Étape 3.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7

Associez $5$ et $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.9

Associez $\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ et $e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Étape 5.1.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 5.1.3.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $5$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $5$ retiré.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 5.1.3.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 5.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Étape 5.1.3.4

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 5.1.3.5

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Étape 5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 5.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

Étape 5.3.6

Additionnez $5 e^{x}$ et $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $\frac{1}{5}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez

$e$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e$

Forme décimale :

$2.71828182 \dots$