Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} - 8}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{x} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{x} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{8 e^{0} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 e^{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 e^{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 e^{x} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $8 e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $8 e^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 8 e^{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$8 lim_{x \to 0} e^{x}$

Étape 2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$8 e^{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$8 e^{0}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 4.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$