Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Étape 1

Écrivez ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

Étape 4

Laissez $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $u^{7}$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u^{7} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ comme $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ .

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Étape 8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$