Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t_{1}$ approche de $\infty$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Étape 2

Laissez $u = - s t$ . Alors $d u = - s d t$ , donc $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - s t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Étape 2.1.2

Comme $- s$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- s t$ par rapport à $t$ est $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- s$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = - s t$ .

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $- s \cdot 0$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Étape 2.3.2

Multipliez $0$ par $s$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = - s t$ .

$u_{upper} = - s t_{1}$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{s}$ et $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{s}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{s}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Étape 7

Associez $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ et $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- s t_{1}$ et sur $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite.

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Étape 9.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t_{1}$ .

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Étape 9.1.2

Placez le terme $\frac{1}{s}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t_{1}$ .

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Étape 9.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t_{1}$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Étape 9.2

Comme l’exposant $- s t_{1}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- s t_{1}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Étape 9.3

Évaluez la limite.

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Étape 9.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t_{1}$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Étape 9.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

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Étape 9.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Étape 9.3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{s}$ par $1$ .

$\frac{1}{s}$