Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = \sec (x) - 1$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sec (x) - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sec (x) - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $\sec (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x) - 1$ .

$\ln (| \sec (x) - 1 |) + C$