Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Étape 3

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Étape 5

Laissez $u = y + 8$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = y + 8$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 8$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

Étape 5.1.4

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y + 8$ .

$u_{lower} = - 7 + 8$

Étape 5.3

Additionnez $- 7$ et $8$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y + 8$ .

$u_{upper} = 0 + 8$

Étape 5.5

Additionnez $0$ et $8$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2}$ sur $0$ et sur $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $8$ et sur $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.3

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.4

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.5

Associez $- 49$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.7

Soustrayez $\frac{49}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.8

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.9

Multipliez $7$ par $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.10

Annulez le facteur commun à $49$ et $14$ .

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Étape 8.3.10.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.10.2.1

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.11

Associez $\frac{2}{3}$ et $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.12

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.13

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 8.3.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.13.2

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 8.3.13.2.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.13.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.15

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.17

Additionnez $2$ et $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 8.3.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 8.3.19

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 8.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Étape 8.3.21

Pour écrire $- \frac{7}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Étape 8.3.22

Pour écrire $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.23.1

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.3.23.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.3.23.3

Multipliez $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 8.3.23.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Étape 8.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Étape 8.3.25

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Étape 8.3.26

Déplacez $2$ à gauche de $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- 21$ comme $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Étape 9.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.2

Multipliez $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez le signe négatif.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.2.2

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.2.6

Additionnez $2$ et $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Étape 10.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

Étape 10.4

Additionnez $21$ et $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Forme décimale :

$10.91827799 \dots$

Étape 12