Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9 = \sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 + \sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 = - 1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} + \sum_{k = 1}^{6} - 9$

Étape 2.2

Évaluez $1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.3

Additionnez $12$ et $1$ .

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $42$ par $13$ .

$- 1 (\frac{546}{6})$

Étape 2.2.3.2.2

Divisez $546$ par $6$ .

$- 1 \cdot 91$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $91$ .

$- 91$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{6} - 9$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 9) (6)$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$- 54$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$- 91 - 54$

Étape 2.5

Soustrayez $54$ de $- 91$ .

$- 145$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$- 0^{2} - 9$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $0$ à la puissance $2$ .

$- 0 - 9$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 - 9$

Étape 3.2.3

Soustrayez $9$ de $0$ .

$- 9$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- 145 - 9$

Étape 5

Soustrayez $9$ de $- 145$ .

$- 154$