Calcul infinitésimal Exemples

$x \ln (x + 1)$

Étape 1

Écrivez $x \ln (x + 1)$ comme une fonction.

$f (x) = x \ln (x + 1)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \ln (x + 1) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x + 1)$ et $d v = x$ .

$\ln (x + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (x + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 5.2

Associez $\ln (x + 1)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 7

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Étape 8

Divisez $x^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 8.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 8.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 8.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 8.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Étape 8.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 8.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 8.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 8.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Étape 8.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Étape 8.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 12

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 12.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 12.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Étape 14

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Étape 14.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Étape 14.2

Simplifiez

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Étape 14.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Étape 14.2.2

Associez $\frac{\ln (x + 1)}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Étape 14.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 14.2.4

Associez $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 14.2.8

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 14.2.9

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 14.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 14.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 14.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 14.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 14.2.9.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Étape 16

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Étape 16.1

Pour écrire $\ln (| x + 1 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Étape 16.2

Associez $\ln (| x + 1 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Étape 16.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Étape 16.4

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Étape 16.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Étape 16.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 16.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Étape 16.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \ln (x + 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$