Calcul infinitésimal Exemples

$z = \ln (x^{2} + y^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2.3

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0)$

Étape 3.2.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x)$

Étape 3.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} x$

Étape 3.2.4.3

Associez $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$