Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (x^{2} + x) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} x^{2} + x d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ et $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{3} + \frac{8}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.6

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.7

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.9.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.9.2

Additionnez $64$ et $24$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Étape 5.2.2.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 5.2.2.13

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

Étape 5.2.2.14

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 5.2.2.15

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 5.2.2.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.2.16.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 5.2.2.16.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 5.2.2.16.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Étape 5.2.2.16.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$

Étape 5.2.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{88}{3} - \frac{2 + 3}{6}$

Étape 5.2.2.18

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{88}{3} - \frac{5}{6}$

Étape 5.2.2.19

Pour écrire $\frac{88}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Étape 5.2.2.20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.2.20.1

Multipliez $\frac{88}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Étape 5.2.2.20.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{88 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Étape 5.2.2.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{88 \cdot 2 - 5}{6}$

Étape 5.2.2.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.22.1

Multipliez $88$ par $2$ .

$\frac{176 - 5}{6}$

Étape 5.2.2.22.2

Soustrayez $5$ de $176$ .

$\frac{171}{6}$

Étape 5.2.2.23

Annulez le facteur commun à $171$ et $6$ .

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Étape 5.2.2.23.1

Factorisez $3$ à partir de $171$ .

$\frac{3 (57)}{6}$

Étape 5.2.2.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.23.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{57}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{57}{2}$

Forme décimale :

$28.5$

Forme de nombre mixte :

$28 \frac{1}{2}$

Étape 7