Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ est positif.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{\tan (t)}{2}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ .

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ par $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ par $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Étape 2.2.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.8

Annulez le facteur commun à $\sec^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

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Étape 2.2.8.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Étape 2.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.8.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Étape 2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Étape 2.2.9

Réécrivez $\tan (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Étape 2.2.10

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Étape 2.2.11

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Étape 2.2.12

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Étape 2.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Étape 2.2.13

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

Étape 3

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$