Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{5})$

Étape 1

Placez le terme $- 11$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{5})$

Étape 2

Associez $\frac{r}{3}$ et $\ln (\frac{r}{5})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{5})}{3}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{5})$

Étape 4

Réécrivez $r \ln (\frac{r}{5})$ comme $\frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{5})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Étape 5.1.2

Lorsque $r$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (\frac{r}{5})$ diminue sans borne.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Étape 5.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $r$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{r}$ approche de l’infini.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 5.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = \ln (r)$ et $g (r) = \frac{r}{5}$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{5}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{5}{r}$ par $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{r}{5}$ par rapport à $r$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.9

Multipliez $\frac{1}{r}$ par $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.10

Réécrivez $\frac{1}{r}$ comme $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Étape 5.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{r}$ et $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $r^{2}$ et $r$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Étape 5.6.2.2

Factorisez $r$ à partir de $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Étape 5.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Étape 5.6.2.5

Divisez $r$ par $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite de $r$ en insérant $0$ pour $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Associez $- 11$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Étape 6.2.3

Multipliez $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{11}{3}$ .

$0$