Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 1$ et $g (y) = x$ .

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $x$ par $0$ .

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

Étape 3.3.6

Soustrayez $x'$ de $0$ .

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

Étape 3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x'}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Factorisez $x'$ à partir de $- x' + x' x^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1

Factorisez $x'$ à partir de $- x'$ .

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $x'$ à partir de $x' x^{2}$ .

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ .

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

Étape 5.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

Étape 5.4.3

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $x^{2}$ .

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

Étape 5.4.4

Factorisez.

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Étape 5.4.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

Étape 5.4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

Étape 5.4.5

Divisez chaque terme dans $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ par $(x + 1) (x - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.5.1

Divisez chaque terme dans $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.4.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4.5.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$