Calcul infinitésimal Exemples

$t (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ , $x - 5$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) + f' (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

Étape 3

Évaluez $f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ dans l’expression.

$f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) = (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

Étape 3.2

Simplifiez $(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5$ de $45$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40$

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = x - 5$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 4.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 1 (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ par $1$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$

Étape 6.1.2

Soustrayez $9 x$ de $x$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Étape 6.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$ .

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Étape 6.2.1.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 0 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 5 x^{2} - 9 x + 40$ et $0$ .

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 9 x + 40 - 8 x + 45$

Étape 6.2.3

Soustrayez $8 x$ de $- 9 x$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 40 + 45$

Étape 6.2.4

Additionnez $40$ et $45$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 85$

Étape 7