Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}$ comme ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = - x^{2} + 2 x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2} + 2 x - 5$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2} + 2 x - 5$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 8

Associez ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Placez ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Étape 11

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Étape 12

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 17

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 18

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 20

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 21

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + 0)$

Étape 22

Additionnez $- 2 x + 2$ et $0$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$

Étape 23

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$ .

$- (- 2 x + 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- (- 2 x) - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$(2 x - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(2 x - 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.5

Multipliez $2 x - 2$ par $\frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 23.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 23.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (x - 1)}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$