Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Étape 2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int \frac{x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{7} + 2$ . Alors $d u = 7 x^{6} d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = x^{6} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{7} + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{7} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} + 2]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{7} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 3.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 x^{6} + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $7 x^{6}$ et $0$ .

$7 x^{6}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$7 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{7}$ .

$7 \int \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Étape 4.2

Déplacez $7$ à gauche de $u$ .

$7 \int \frac{1}{7 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{7} + 2$ .

$\ln (| x^{7} + 2 |) + C$