Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 x^{- 4} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 2 x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + x^{- 2} + 2 x$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$