Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ sur $27$ et sur $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

Étape 6.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $27$ et sur $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $81$ .

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.6

Multipliez $3$ par $81$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.10

Soustrayez $3$ de $243$ .

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.11

Annulez le facteur commun à $240$ et $4$ .

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Étape 6.1.3.11.1

Factorisez $4$ à partir de $240$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.3.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.1.3.11.2.4

Divisez $60$ par $1$ .

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $27$ est $27$ .

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

Étape 6.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

Étape 6.3.3

Divisez $27$ par $1$ .

$60 - \ln (27)$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Réécrivez $\ln (27)$ comme $\ln (3^{3})$ .

$60 - \ln (3^{3})$

Étape 7.2

Développez $\ln (3^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$60 - (3 \ln (3))$

Étape 7.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$60 - 3 \ln (3)$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$60 - 3 \ln (3)$

Forme décimale :

$56.70416313 \dots$

Étape 9