Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int \sqrt[3]{x} d x$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9

Simplifiez

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt[3]{x}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$