Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{x}}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

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Étape 2.6.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Étape 2.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.1

Associez les termes opposés dans $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Étape 2.8.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x e^{x}$ et $x (- 1 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.1.2

Soustrayez $e^{x} x$ de $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.1.3

Additionnez $x (x e^{x})$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.4.2.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 2.8.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 4.1.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $e^{1}$ par $1$ .

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Étape 9.1.3

Simplifiez

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Étape 9.1.5

Simplifiez

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Étape 9.1.6

Simplifiez

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

Étape 9.1.7

Soustrayez $2 e$ de $e$ .

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

Étape 9.1.8

Additionnez $- e$ et $2 e$ .

$\frac{e}{1^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e}{1}$

Étape 9.2.2

Divisez $e$ par $1$ .

$e$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Divisez $e^{1}$ par $1$ .

$f (1) = e$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $e$ .

$y = e$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$(1, e)$ est un minimum local

Étape 13