Calcul infinitésimal Exemples

$x + 2 x y - y^{2} = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 x y - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x' + 2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x' + 2 (x + y x') - (2 y)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x' + 2 (x + y x') - 2 y$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x' + 2 x + 2 (y x') - 2 y$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x' + 2 x + 2 y x' - 2 y$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x'$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x' = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y x' - 2 y + x' = - 2 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y x' + x' = - 2 x + 2 y$

Étape 5.2

Factorisez $x'$ à partir de $2 y x' + x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $2 y x'$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Étape 5.2.2

Élevez $x'$ à la puissance $1$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $x'$ à partir de ${x'}^{1}$ .

$x' (2 y) + x' \cdot 1 = - 2 x + 2 y$

Étape 5.2.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 y) + x' \cdot 1$ .

$x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ par $2 y + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ par $2 y + 1$ .

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 2 x + 2 y}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 2 y$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 y}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (y)$ .

$x' = \frac{2 (- x + y)}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$x' = \frac{2 (- (x) + y)}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$x' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- y)$ .

$x' = \frac{2 (- (x - y))}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.1

Réécrivez $- (x - y)$ comme $- 1 (x - y)$ .

$x' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{2 y + 1}$

Étape 5.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$