Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{3} + x}{x + 1} d x$

Étape 1

Divisez $x^{3} + x$ par $x + 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Étape 1.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$

Étape 1.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$

Étape 1.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 1.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 1.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							-	$2 x$	-	$2$
									-	$2$

Étape 1.16

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x^{2} - x + 2 - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int - x d x + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 11

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2 \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + C$