Calcul infinitésimal Exemples

$y = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2 x}{3})]$

Étape 1.2.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (\frac{2 x}{3})$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Étape 1.2.4

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot 1))$

Étape 1.2.6

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{2}{3})$

Étape 1.2.7

Associez $\cos (\frac{2 x}{3})$ et $\frac{2}{3}$ .

$0 - 3 \frac{\cos (\frac{2 x}{3}) \cdot 2}{3}$

Étape 1.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 - 3 \frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Étape 1.2.9

Associez $- 3$ et $\frac{2 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$ .

$0 + \frac{- 3 (2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$0 + \frac{- 6 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Étape 1.2.11

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Étape 1.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 (1)}$

Étape 1.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 \cdot 1}$

Étape 1.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{1}$

Étape 1.2.11.2.4

Divisez $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ par $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Étape 1.3

Soustrayez $2 \cos (\frac{2 x}{3})$ de $0$ .

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3})]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (\frac{2 x}{3})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sin (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Associez les fractions.

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Étape 2.3.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.3.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $\frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{2 x}{3})$ par $1$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = \frac{0}{- 2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{2 x}{3} = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{2 x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 10.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Étape 10.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 10.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Étape 10.2.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Étape 10.2.2.1.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Étape 11

La solution de l’équation est $\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})}{3}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Associez $2$ et $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})}{3}$

Étape 13.3

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Étape 13.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Étape 13.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Étape 13.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Étape 13.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 13.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 13.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Étape 13.4.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3}$

Étape 13.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{3}$

Étape 14

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{3 π}{4}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 (2)})$

Étape 15.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Étape 15.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Étape 15.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2})$

Étape 15.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Étape 15.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \cdot 1$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3$

Étape 15.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{9 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})}{3}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Associez $2$ et $\frac{9 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Étape 17.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})}{3}$

Étape 17.3

Réduisez l’expression $\frac{18 π}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.3.1

Factorisez $2$ à partir de $18 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Étape 17.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Étape 17.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Étape 17.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Étape 17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 17.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 17.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 17.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Étape 17.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Étape 17.4.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Étape 17.4.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Étape 17.4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3}$

Étape 17.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 17.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{3}$

Étape 17.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3}$

Étape 18

$x = \frac{9 π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{9 π}{4}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{9 π}{4}))$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 (2)})$

Étape 19.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Étape 19.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{9 π}{2})$

Étape 19.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 19.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Étape 19.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Étape 19.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.1.3

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 19.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 19.2.1.5

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 19.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Étape 19.2.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 + 3$

Étape 19.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 4$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ .

$(\frac{3 π}{4}, - 2)$ est un minimum local

$(\frac{9 π}{4}, 4)$ est un maximum local

Étape 21