Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(5, \frac{2}{5})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = \frac{2}{5}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$- \frac{2}{{(5)}^{2}}$

Étape 1.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2}{25}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{25}$ et un point donné, tel que $(5, \frac{2}{5})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{5}) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{2}{5} = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{2}{25}$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{25}$ dans le numérateur.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{25} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 (5)} \cdot - 5$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 2}{5}$ et $- 1$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2 \cdot - 1}{5}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{5}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{2}{5}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{2 + 2}{5}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{4}{5}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{4}{5}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{4}{5}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{4}{5}$

Étape 3