Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.5

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.6.2.4

Divisez $- 2 x^{3}$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{5}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$- 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.7

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{3} + 3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.8

Associez $3$ et $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.9

Multipliez $5$ par $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.10

Factorisez $3$ à partir de $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.11.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.11.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{3} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 3.11.4

Divisez $5 x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2$