Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Étape 4

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 4.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 4.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Étape 4.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Étape 4.1.4.2

Divisez $4 x - 1$ par $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Étape 4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1

Annulez le facteur commun de ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Étape 4.1.5.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Étape 4.1.5.2

Annulez le facteur commun à ${(2 x - 1)}^{2}$ et $2 x - 1$ .

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Étape 4.1.5.2.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Étape 4.1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.5.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Étape 4.1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Étape 4.1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Étape 4.1.5.2.2.4

Divisez $B (2 x - 1)$ par $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Étape 4.1.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Étape 4.1.5.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Étape 4.1.5.6

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Étape 4.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.6.1

Déplacez $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Étape 4.1.6.2

Remettez dans l’ordre $A$ et $2 x B$ .

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Étape 4.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 4.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$4 = 2 B$

Étape 4.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 4.3.1

Résolvez $B$ dans $4 = 2 B$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $2 B = 4$ .

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.3.1.2

Divisez chaque terme dans $2 B = 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 4$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.3.1.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1.2.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Étape 4.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 4.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $- 1 = A - 1 B$ par $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Étape 4.3.3

Résolvez $A$ dans $- 1 = A - 2$ .

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A - 2 = - 1$ .

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Étape 4.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Étape 4.3.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Étape 4.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = 1 B = 2$

Étape 4.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = 1, B = 2$

Étape 4.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Étape 4.5

Supprimez le zéro de l’expression.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 2 x - 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Étape 11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Étape 12

Laissez $u_{2} = 2 x - 1$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{2} = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 12.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 12.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 12.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 12.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 12.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 12.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 12.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 13.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 15.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 15.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 16

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 17.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 18

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 18.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 18.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$