Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ et $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $24 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 48 (0) + 36$

Étape 9.1.3

Multipliez $48$ par $0$ .

$0 + 0 + 36$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 36$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$36$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Étape 11.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $18$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$f (0) = 4$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(- 3)}^{2} + 48 (- 3) + 36$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$12 \cdot 9 + 48 (- 3) + 36$

Étape 13.1.2

Multipliez $12$ par $9$ .

$108 + 48 (- 3) + 36$

Étape 13.1.3

Multipliez $48$ par $- 3$ .

$108 - 144 + 36$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $144$ de $108$ .

$- 36 + 36$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée première $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Étape 14.2.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Étape 14.2.2.1.4

Multipliez $24$ par $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 + 36 (- 6)$

Étape 14.2.2.1.5

Multipliez $36$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 - 216$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.2.2.1

Additionnez $- 864$ et $864$ .

$f' (- 6) = 0 - 216$

Étape 14.2.2.2.2

Soustrayez $216$ de $0$ .

$f' (- 6) = - 216$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $- 216$ .

$- 216$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée première $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Étape 14.3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 \cdot 4 + 36 (- 2)$

Étape 14.3.2.1.4

Multipliez $24$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 + 36 (- 2)$

Étape 14.3.2.1.5

Multipliez $36$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 - 72$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.3.2.2.1

Additionnez $- 32$ et $96$ .

$f' (- 2) = 64 - 72$

Étape 14.3.2.2.2

Soustrayez $72$ de $64$ .

$f' (- 2) = - 8$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $- 8$ .

$- 8$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Étape 14.4.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4 + 36 (2)$

Étape 14.4.2.1.4

Multipliez $24$ par $4$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 36 (2)$

Étape 14.4.2.1.5

Multipliez $36$ par $2$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 72$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1

Additionnez $32$ et $96$ .

$f' (2) = 128 + 72$

Étape 14.4.2.2.2

Additionnez $128$ et $72$ .

$f' (2) = 200$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $200$ .

$200$

Étape 14.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = - 3$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 15