Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Alors $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ , donc $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{6 x^{4}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{6 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x^{4}$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $4$ par $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $24$ par $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Étape 1.1.5

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Étape 1.1.5.1

Additionnez $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ et $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Étape 1.1.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Étape 2

Associez $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ et $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{48}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{48}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{1}{48}$ par $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $48$ par $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $336$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$