Calcul infinitésimal Exemples

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $300$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $300 t e^{- 2.5 t}$ par rapport à $t$ est $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2.5 t$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $- 2.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2.5 t$ par rapport à $t$ est $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 2.5$ par $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $- 2.5$ à gauche de $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Étape 1.4.5

Multipliez $e^{- 2.5 t}$ par $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 2.5$ par $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}] + \frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = \frac{d}{d t} (- 750 t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 750$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 750 t e^{- 2.5 t}$ par rapport à $t$ est $- 750 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 \frac{d}{d t} (t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.2

$A'' (t) = - 750 (t \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2.5 t$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.4

Comme $- 2.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2.5 t$ par rapport à $t$ est $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 2.5$ par $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.8

Déplacez $- 2.5$ à gauche de $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.2.9

Multipliez $e^{- 2.5 t}$ par $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $300$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $300 e^{- 2.5 t}$ par rapport à $t$ est $300 \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2.5 t$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Étape 2.3.3

Comme $- 2.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2.5 t$ par rapport à $t$ est $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 2.5$ par $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 2.5$ à gauche de $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t})$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2.5$ par $300$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) - 750 e^{- 2.5 t}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 2.5$ par $- 750$ .

$A'' (t) = 1875 (t (e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $750 e^{- 2.5 t}$ de $- 750 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$A'' (t) = 1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $300$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $300 t e^{- 2.5 t}$ par rapport à $t$ est $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Étape 4.1.2

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2.5 t$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 2.5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2.5 t$ par rapport à $t$ est $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 2.5$ par $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.4.3.2

Déplacez $- 2.5$ à gauche de $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Étape 4.1.4.5

Multipliez $e^{- 2.5 t}$ par $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $- 2.5$ par $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 4.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 4.1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$f' (t) = - 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 4.2

La dérivée première de $A (t)$ par rapport à $t$ est $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $150 e^{- 2.5 t}$ à partir de $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $150 e^{- 2.5 t}$ à partir de $- 750 t e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $150 e^{- 2.5 t}$ à partir de $300 e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $150 e^{- 2.5 t}$ à partir de $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2)$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

$- 5 t + 2 = 0$

Étape 5.4

Définissez $e^{- 2.5 t}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $e^{- 2.5 t}$ égal à $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $e^{- 2.5 t} = 0$ pour $t$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2.5 t}) = \ln (0)$

Étape 5.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2.5 t} = 0$

Aucune solution

Étape 5.5

Définissez $- 5 t + 2$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $- 5 t + 2$ égal à $0$ .

$- 5 t + 2 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $- 5 t + 2 = 0$ pour $t$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 t = - 2$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 t = - 2$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 t = - 2$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 2}{- 5}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$t = \frac{2}{5}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$ vraie.

$t = \frac{2}{5}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$t = \frac{2}{5}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $t = \frac{2}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$1875 (\frac{2}{5}) e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 9.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $1875$ .

$5 (375) \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 375 \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$375 \cdot 2 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.2

Multipliez $375$ par $2$ .

$750 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $2.5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Factorisez $2.5$ à partir de $- 2.5$ .

$750 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.3.2

Factorisez $2.5$ à partir de $5$ .

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$750 e^{- 1 \cdot 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$750 e^{- 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$750 \frac{1}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.7

Associez $750$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{750}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.8

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{750}{2.71828182} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.9

Divisez $750$ par $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 9.1.10

Annulez le facteur commun de $2.5$ .

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Étape 9.1.10.1

Factorisez $2.5$ à partir de $- 2.5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}}$

Étape 9.1.10.2

Factorisez $2.5$ à partir de $5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Étape 9.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Étape 9.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Étape 9.1.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.11.1

Annulez le facteur commun.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Étape 9.1.11.2

Réécrivez l’expression.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 9.1.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 1}$

Étape 9.1.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$275.90958087 - 1500 \frac{1}{e}$

Étape 9.1.14

Associez $- 1500$ et $\frac{1}{e}$ .

$275.90958087 + \frac{- 1500}{e}$

Étape 9.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$275.90958087 - \frac{1500}{e}$

Étape 9.1.16

Remplacez $e$ par une approximation.

$275.90958087 - \frac{1500}{2.71828182}$

Étape 9.1.17

Divisez $1500$ par $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1 \cdot 551.81916175$

Étape 9.1.18

Multipliez $- 1$ par $551.81916175$ .

$275.90958087 - 551.81916175$

Étape 9.2

Soustrayez $551.81916175$ de $275.90958087$ .

$- 275.90958087$

Étape 10

$t = \frac{2}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$t = \frac{2}{5}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $t = \frac{2}{5}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $t$ par $\frac{2}{5}$ dans l’expression.

$A (\frac{2}{5}) = 300 (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $300$ .

$A (\frac{2}{5}) = 5 (60) (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$A (\frac{2}{5}) = 5 \cdot (60 (\frac{2}{5})) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$A (\frac{2}{5}) = 60 \cdot 2 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 11.2.2

Multipliez $60$ par $2$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun de $2.5$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $2.5$ à partir de $- 2.5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 (- 1) (\frac{2}{5})}$

Étape 11.2.3.2

Factorisez $2.5$ à partir de $5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Étape 11.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Étape 11.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Étape 11.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 11.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1}$

Étape 11.2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 11.2.7

Associez $120$ et $\frac{1}{e}$ .

$A (\frac{2}{5}) = \frac{120}{e}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $\frac{120}{e}$ .

$y = \frac{120}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$ .

$(\frac{2}{5}, \frac{120}{e})$ est un maximum local

Étape 13