Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} \frac{s^{4} - 8}{s^{2}} d s$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $s^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) {(s^{2})}^{- 1} d s$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(s^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{2 \cdot - 1} d s$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{- 2} d s$

Étape 2

Multipliez $(s^{4} - 8) s^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} s^{4} s^{- 2} - 8 s^{- 2} d s$

Étape 3

Multipliez $s^{4}$ par $s^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{4} s^{4 - 2} - 8 s^{- 2} d s$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} s^{2} - 8 s^{- 2} d s$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} s^{2} d s + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $s^{2}$ par rapport à $s$ est $\frac{1}{3} s^{3}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Étape 6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $s$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} s^{- 2} d s$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $s^{- 2}$ par rapport à $s$ est $- s^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{3} s^{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Étape 8.2

Évaluez $- s^{- 1}$ sur $4$ et sur $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 - 1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.6

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{63}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 8.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21}{1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.7.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$21 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Étape 8.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1)$

Étape 8.3.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$21 - 8 \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 8.3.12

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$21 - 8 (\frac{3}{4})$

Étape 8.3.13

Associez $- 8$ et $\frac{3}{4}$ .

$21 + \frac{- 8 \cdot 3}{4}$

Étape 8.3.14

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$21 + \frac{- 24}{4}$

Étape 8.3.15

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $4$ .

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Étape 8.3.15.1

Factorisez $4$ à partir de $- 24$ .

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Étape 8.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Étape 8.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Étape 8.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$21 + \frac{- 6}{1}$

Étape 8.3.15.2.4

Divisez $- 6$ par $1$ .

$21 - 6$

Étape 8.3.16

Soustrayez $6$ de $21$ .

$15$

Étape 9