Calcul infinitésimal Exemples

$5^{x} + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5^{x} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5^{x} \ln (5) + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\ln (5)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{x} \ln (5)$ par rapport à $x$ est $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.4

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $5^{x} \ln^{2} (5)$ et $0$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $\ln^{2} (5)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{x} \ln^{2} (5)$ par rapport à $x$ est $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

Étape 3.3

Multipliez $\ln^{2} (5)$ par $\ln (5)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $\ln (5)$ .

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\ln (5)$ par $\ln^{2} (5)$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

Étape 3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

Étape 3.4

Réorganisez les facteurs de $\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ .

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$