Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ comme ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Étape 1.1.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.10

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Étape 1.1.12

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.12.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Étape 1.1.12.2

Associez $x$ et $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.12.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.12.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.12.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.12.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.12.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.12.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.12.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.13.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.13.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.13.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.1.13.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.13.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.1.13.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Étape 1.1.13.3.2

Simplifiez

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Étape 1.1.13.3.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Étape 1.1.13.3.4

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.3.5

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.13.3.5.1

Déplacez $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Étape 1.1.13.3.5.2

Multipliez $2^{- \frac{1}{2}}$ par $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.13.3.5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Étape 1.1.13.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Étape 1.1.13.3.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Étape 1.1.13.3.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Étape 1.1.13.3.5.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 1.1.13.3.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 1.1.13.3.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Étape 2.2

Multipliez $2^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 3

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $2^{\frac{1}{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.2

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5.2.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$