Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $\frac{π}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Étape 6.7.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Étape 6.8

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Forme décimale :

$0.45015815 \dots$