Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{1 + 7 x}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt[3]{1 + 7 x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{1 + 7 x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 + 7 x$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 + 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$0 + 7$

Étape 4.1.4

Additionnez $0$ et $7$ .

$7$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Étape 5

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{7} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ comme $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{7 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{3}{28} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 7 x$ .

$\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt[3]{1 + 7 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$