Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 4} \frac{4 x^{2} + 4 x - 8}{a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 4 x^{2} + 4 x - 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 4 x^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 4 x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 6

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + b x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to - 4} a x^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Étape 8

Placez le terme $a$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} b x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Étape 10

Placez le terme $b$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 8} = \frac{9}{5}$

Étape 11

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $- 4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b lim_{x \to - 4} x + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 4$ pour $x$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{2} + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 16 + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{64 + 4 \cdot - 4 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.1.3

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{64 - 16 - 1 \cdot 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{64 - 16 - 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.1.5

Soustrayez $16$ de $64$ .

$\frac{48 - 8}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.1.6

Soustrayez $8$ de $48$ .

$\frac{40}{a {(- 4)}^{2} + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{40}{a \cdot 16 + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.2

Déplacez $16$ à gauche de $a$ .

$\frac{40}{16 \cdot a + b \cdot - 4 + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $b$ .

$\frac{40}{16 a - 4 \cdot b + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.4

Factorisez $4$ à partir de $16 a - 4 b + 8$ .

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Étape 13.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $16 a$ .

$\frac{40}{4 (4 a) - 4 b + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 b$ .

$\frac{40}{4 (4 a) + 4 (- b) + 8} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{40}{4 (4 a) + 4 (- b) + 4 (2)} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.4.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 a) + 4 (- b)$ .

$\frac{40}{4 (4 a - b) + 4 (2)} = \frac{9}{5}$

Étape 13.2.4.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 a - b) + 4 (2)$ .

$\frac{40}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $40$ et $4$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$\frac{4 \cdot 10}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 10}{4 (4 a - b + 2)} = \frac{9}{5}$

Étape 13.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{10}{4 a - b + 2} = \frac{9}{5}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10}{4 a - b + 2} = \frac{9}{5}$

Forme décimale :

$\frac{10}{4 a - b + 2} = 1.8$