Calcul infinitésimal Exemples

$D_{x} (\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $D_{x}$ et $\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}]$

Étape 1.2

Comme $D_{x}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}$ par rapport à $x$ est $D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$ .

$D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 5$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$D_{x} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.10.3

Associez $D_{x}$ et $\frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{D_{x} (2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{D_{x} (2 x^{2}) + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} \cdot - 2 + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $D_{x}$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 \cdot D_{x} + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x \cdot x + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} (x \cdot x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 2 \cdot 5 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.1.8

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $4 D_{x} x^{2}$ de $2 D_{x} x^{2}$ .

$\frac{- 2 D_{x} - 2 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Factorisez $2 D_{x}$ à partir de $- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $2 D_{x}$ à partir de $- 2 D_{x}$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1) - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $2 D_{x}$ à partir de $- 2 x^{2} D_{x}$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.1.3

Factorisez $2 D_{x}$ à partir de $- 10 D_{x} x$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.1.4

Factorisez $2 D_{x}$ à partir de $2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2})$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.1.5

Factorisez $2 D_{x}$ à partir de $2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2} - 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 4.8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 4.8.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - (5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (5 x)$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.12

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 5 x) - 1 (1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.14

Réécrivez $- (x^{2} + 5 x + 1)$ comme $- 1 (x^{2} + 5 x + 1)$ .

$\frac{2 D_{x} (- 1 (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 D_{x} (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$