Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{4} - \frac{1}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{4}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$16 x^{3} - \frac{1}{4} (- 4 x^{- 5})$

Étape 3.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$16 x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) x^{- 5}$

Étape 3.9

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4} x^{- 5}$

Étape 3.10

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{- 5}$ .

$16 x^{3} + \frac{4 x^{- 5}}{4}$

Étape 3.11

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Étape 3.12

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.12.1

Annulez le facteur commun.

$16 x^{3} + \frac{4}{4 x^{5}}$

Étape 3.12.2

Réécrivez l’expression.

$16 x^{3} + \frac{1}{x^{5}}$