Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{3}{4}} d x + \int 8 \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + \int 8 \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Étape 5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 \int \sqrt[3]{x} d x + \int 3 x^{5} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int 3 x^{5} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int 3 x^{5} d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 3 \int x^{5} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C + 8 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + 3 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + 3 \frac{x^{6}}{6} + C$

Étape 10.2.2

Associez $3$ et $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{6} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 (x^{6})}{6} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{6}}{3 \cdot 2} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{6}}{2} + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} x^{6} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{\frac{3}{4}} + 8 \sqrt[3]{x} + 3 x^{5}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + 6 x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{2} x^{6} + C$