Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} \cdot e^{x}$

Étape 1

Écrivez $x^{3} \cdot e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Étape 6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Étape 10

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Étape 11

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Étape 12

Réécrivez $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ comme $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$