Calcul infinitésimal Exemples

$x \cos (π x) + \sin (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (π x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (π x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$x (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.6

Multipliez $π$ par $1$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.7

Multipliez $\cos (π x)$ par $1$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \cos (x)$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- π x \sin (π x) + \cos (π x) + \cos (x)$