Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- x}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{x^{2} + 4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}] + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

$- \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{x}{x^{2} + 4} \cdot 0$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{x}{x^{2} + 4}$ par $0$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 0$

Étape 10.2

Additionnez $- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$