Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1 - \cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - \cos (4 x)$ et $g (x) = \sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

$\frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sin (4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$\frac{\sin (4 x) (- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{\sin (4 x) (- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (4 x) (1 (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (4 x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (4 x) (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 5

Élevez $\sin (4 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 6

Élevez $\sin (4 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 8.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \cdot 1) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) \cdot 4 - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 8.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sin^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 9.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 10.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 10.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \cdot 1}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 10.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- \cos (4 x))) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cdot 1 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos (4 x) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.1.3

Multipliez $4 \cos (4 x) \cos (4 x)$ .

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Étape 11.3.1.3.1

Élevez $\cos (4 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.1.3.2

Élevez $\cos (4 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 {\cos (4 x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.2

Déplacez $4 \cos^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \cos^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x))$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x) + \cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.4

Factorisez $4$ à partir de $4 - 4 \cos (4 x)$ .

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Étape 11.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{4 (1) + 4 (- \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 11.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \cos (4 x))$ .

$\frac{4 (1 - \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$