Calcul infinitésimal Exemples

$2 y e^{y^{2}}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y e^{y^{2}}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 8.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{y^{2}}$ .

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

Étape 10

Multipliez $e^{y^{2}}$ par $1$ .

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

Étape 11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ .

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$