Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} + \frac{1}{5} x^{2} + \frac{1}{2} x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{7} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Étape 2

Comme $\frac{2}{7}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{5} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{7} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{2}{7} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{1}{4} + 0) + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.6

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.7

Multipliez $\frac{2}{7}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{7 \cdot 4} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.8

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{2}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $28$ .

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Étape 8.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{28} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $28$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.13

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.14

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.15

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.16

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{5 \cdot 3} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.17

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.18

Pour écrire $\frac{1}{14}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.19

Pour écrire $\frac{1}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{14}{14}$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.20

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $210$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.4.20.1

Multipliez $\frac{1}{14}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{15}{14 \cdot 15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.20.2

Multipliez $14$ par $15$ .

$\frac{15}{210} + \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.20.3

Multipliez $\frac{1}{15}$ par $\frac{14}{14}$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{15 \cdot 14} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.20.4

Multipliez $15$ par $14$ .

$\frac{15}{210} + \frac{14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 + 14}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.22

Additionnez $15$ et $14$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.23

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.24

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 8.4.25

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 8.4.26

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 8.4.27

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 8.4.28

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.4.29

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 8.4.30

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{29}{210} + \frac{1}{4}$

Étape 8.4.31

Pour écrire $\frac{29}{210}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Étape 8.4.32

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29}{210} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Étape 8.4.33

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $420$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.4.33.1

Multipliez $\frac{29}{210}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Étape 8.4.33.2

Multipliez $210$ par $2$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{1}{4} \cdot \frac{105}{105}$

Étape 8.4.33.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{105}{105}$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{4 \cdot 105}$

Étape 8.4.33.4

Multipliez $4$ par $105$ .

$\frac{29 \cdot 2}{420} + \frac{105}{420}$

Étape 8.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{29 \cdot 2 + 105}{420}$

Étape 8.4.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.35.1

Multipliez $29$ par $2$ .

$\frac{58 + 105}{420}$

Étape 8.4.35.2

Additionnez $58$ et $105$ .

$\frac{163}{420}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{163}{420}$

Forme décimale :

$0.38809523 \dots$

Étape 10