Calcul infinitésimal Exemples

$1 - 3 y^{2} - x y^{3} = - x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (1 - 3 y^{2} - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 3 y^{2} - x y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$0 - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$0 - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$0 - 6 y y' - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$0 - 6 y y' - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$0 - 6 y y' - (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 6 y y' - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$0 - 6 y y' - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$0 - 6 y y' - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - 6 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $6 y y'$ de $0$ .

$- 6 y y' - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 6 y y' - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} - 6 y y' - 3 y^{2} x y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y^{3} - 6 y y' - 3 y^{2} x y' = - 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 y y' - 3 y^{2} x y' = - 1 + y^{3}$

Étape 5.2

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 6 y y' - 3 y^{2} x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 6 y y'$ .

$3 y y' \cdot - 2 - 3 y^{2} x y' = - 1 + y^{3}$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y y' \cdot - 2 + 3 y y' (- y x) = - 1 + y^{3}$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y y' \cdot - 2 + 3 y y' (- y x)$ .

$3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$ par $3 y (- 2 - y x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y y' (- 2 - y x) = - 1 + y^{3}$ par $3 y (- 2 - y x)$ .

$\frac{3 y y' (- 2 - y x)}{3 y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y y' (- 2 - y x)}{3 y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (- 2 - y x)}{y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 2 - y x)}{y (- 2 - y x)} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 2 - y x)}{- 2 - y x} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $- 2 - y x$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 - y x)}{- 2 - y x} = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{3}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{3 y (- 2 - y x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y (- 2 - y x)$ .

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (3 (- 2 - y x))}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y \cdot y^{2}}{y (3 (- 2 - y x))}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{2}}{3 (- 2 - y x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 y (- 2 - y x)} + \frac{y^{2}}{3 (- 2 - y x)}$