Calcul infinitésimal Exemples

$S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$

Étape 1

La fonction $3 (t)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $S (t)$ .

$3 (t) = \int S (t) d t$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$3 (t) = \int t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t} d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int t^{2} d t + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \int \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} t^{3} + C - (\frac{1}{2} \int t d t) + \int \sqrt{t} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int \sqrt{t} d t$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{4} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$ .

$3 (t) =$ $\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$